První vlnu popularity přinesla populárnímu herci role Martina Edena v televizní adaptaci románu Jacka Londona. Sám za své největší úspěchy ale pokládal účinkování ve filmech Atentát Jiřího Sequense, Ucho Karla Kachyni a Všichni dobří rodáci Vojtěcha Jasného.
V šedesátých letech zazářil však i například v komedii Ladislava Rychmana Dáma na kolejích či válečné tragédii Martina Friče Hvězda zvaná Pelyněk. Točil také slavný televizní seriál F. L. Věk, kde si zahrál hlavní roli a který nakonec narazil u komunistických cenzorů. Brzobohatý byl letos uveden do Dvorany slávy v televizní anketě TýTý. Naposledy si zahrál ve filmu Vrásky z lásky, který byl do kin uveden letos na jaře.
Brzobohatý byl znám svou láskou k Valašsku, kde prožil dětství. Tam se po válce usadila jeho rodina, když opustila slovenské Vrútky, kde se narodil. Pocházel z hudební, ale i z námořnické rodiny. Moře brázdili jeho otec i děd, mladý Radek je však nenásledoval, místo do vln se ponořil do knih.
Herectví vystudoval na pražské DAMU, poté na více než 30 let zahnízdil v Divadle na Vinohradech. To opustil až v roce 2000, aby o čtyři roky později s manželkou Hanou Gregorovou založil Divadlo Radka Brzobohatého.
